3 (26)

فصل اول :
مقدمه
بسیاری از تجهیزات حساس وکلیدی در کارخانجات و به خصوص صنایع بزرگ را ماشینهای دوار تشکیل می‌ دهند و نابالانسی جرمی قسمتهای متحرک این تجهیزات یکی از مشکلات تکراری و مهم آنها است . بسیاری از روتورها در معرض تغییر دائمی شرایط بالانس قرار دارند . این تغییرات معمولاً به دلیل سایش در اثر برخورد مواد ساینده ، چسبیدن برخی مواد مانند گرد و غبار ، رسوب مواد ، تغییرات حرارتی در ماشین ، تغییرات پروسه کاری و غیره رخ می‌ دهند . بروز مسایل فوق باعث بالا رفتن ارتعاشات ماشین شده و در نتیجه موجب کاهش عمر قطعات و خرابی المانهای ماشین می‌گردد.
افزایش ارتعاشات می‌تواند به حدی برسد که کارکرد ماشین را غیر ممکن نموده و توقف ماشین را اجتناب ناپذیر نماید . در چنین شرایطی یک راه حل قدیمی یعنی بالانس در محل نصب چاره ساز می‌باشد . در این روش توسط دستگاه‌ های آنالیز ارتعاشات از ماشین اندازه‌گیری ارتعاشی به عمل می آید و دامنه و فاز ارتعاشات اندازه‌گیری می شود . سپس براساس دستورالعمل مشخصی با چندین مرحله راه‌اندازی و توقف تجهیز و اتصال وزنه‌ های بالانس کننده آزمایشی و تکرار اندازه‌گیری‌ها نهایتاً روتور به شرایط بالانس جرمی رسیده و عملیات بالانس به پایان می‌رسد و تجهیز مجدداً راه‌اندازی می‌گردد . این پروسه در شرایط مختلف معمولاً بین چند ساعت تا چند روز به طول می‌انجامد .
چکیده
ارتعاشات ماشین‌های دوار یکی از مسایل مهم مهندسی محسوب می‌گ ردد . نابالانسی روتور به عنوان عمومی‌ترین منبع ایجاد ارتعاشات ، رایج‌ترین مشکل سیستمهای دوار می‌باشد . افزایش دائمی نابالانسی در بسیاری از تجهیزات صنعتی مانند فنها ،‌ توربین‌ها ، پمبها ، کمپرسورها و ... عموماً موجب توقف تولید گردیده و خسارات سنگینی به صنایع وارد می‌کند . امروزه بالانس اتوماتیک ماشینهای دوار به عنوان یکی از جدیدترین و بهترین راه ‌حلها مورد توجه مجامع علمی و صنعتی قرار دارد . در این پروژه بالانس اتوماتیک ماشینهای دوار مورد بررسی قرار گرفته است .
ابتدا روشهای مختلف بالانس اتوماتیک و کنترل ارتعاشات شناسایی و دسته‌بندی شده است .به طور کلی روشهای بالانس اتوماتیک به دو دسته فعال و غیر فعال تقسیم می‌گردد. در روشهای غیر فعال بالانس رینگ و گلوله مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته و معادلات دینامیکی حاکم بر این سیستم ، شرط جواب دهی و نقاط تعادل آن بررسی شده است .
سیستمهای بالانس فعال نیز به دو دسته تقسیم گردیده‌ اند . دسته اول سیسمتهای کنترل مستقیم ارتعاشات می‌باشند که قادرند از طریق عملگرهای مغناطیسی ، نیروهای کنترلی مناسبی برای کنترل ارتعاشات روتور به آن اعمال کنند . دسته دوم ابزارهایی هستند که با جابجا کردن وزنه‌های تصحیح ،‌ روتور را بصورت اتوماتیک و کنترل شده بالانس می‌نمایند .
به طور کلی سیستمهای جابجا کننده‌ی وزنه به سه دسته‌ی هدهای دکارتی ، قطبی و جابجایی مایع تقسیم می‌شوند . در این پروژه در ضمن معرفی این سه دسته ، معادلات حاکم ارائه شده ونمونه‌هایی از هر یک معرفی شده است . روشهای کنترل سیستم بالانس اتوماتیک به دو دسته ، « جابجایی بهینه » و « جابجایی مشخص » تقسیم شده و هر یک برای روتورهای جفکات و روتور صلب با در نظر گرفتن اثرات ژیروسکوپی و برای روتورهای انعطاف پذیر ، شرح داده شده است .
بالانس اتوماتیک به روش مودال و ضرایب تأثیر نیز شرح داده شده و برای رفع معایب آنها یک الگوریتم بالانس اتوماتیک ترکیبی پیشنهاد شده است . در این روش ابتدا ماتریس ضرایب اثر از روی پارامترهای مودال محاسبه شده و این ماتریس برای شروع عملیات بالانس به کار می‌رود . حین جابجایی جرم ماتریس ضرایب اثر جدید محاسبه و برای تکمیل و عملیات بالانس به کار می‌رود .
بحث دینامیک روتورها عنوان مباحث مقدماتی برای تکمیل بحث و فهم چگونگی عملکرد سیستمهای بالانس اتوماتیک ارائه گردیده است . شبیه سازی عددی روشهای بالانس اتوماتیک براساس معادلات به دست آمده در این قسمت انجام شده است .
توقف ماشین و در نتیجه توقف خط تولید در اثر نابالانسی معمولاً خسارات سنگینی به کارخانجات وارد می آورد . یک راه حل مناسب برای این مساله استفاده از سیستمهای بالانس اتوماتیک می‌باشد . سیستمهای بالانس کننده فعال که ایده اولیه آن از سالهای پیش ارائه گردیده ، سیستمهایی هستند که قادرند یک ماشین دوار را در هنگام بروز نابالانسی ، بصورت خودکار و بدون نیاز به متوقف کردن تجهیز بالانس نمایند . این کار توسط جابجا شدن وزنه‌هایی که بطور دائمی به روی روتور نصب شده‌ اند صورت می‌گیرد . مهمترین مزیت این سیستمها عدم نیاز به متوقف کردن تجهیز برای عملیات بالانس می‌باشد .
1-1 روشهای بالانس اتوماتیک
تا کنون روشهای مختلفی در سیستمهای بالانس کننده اتوماتیک به کار گرفته شده است . از جمله می‌توان سیستمهای بالانس کننده اتوماتیک انفعالی ، سیستمهای کنترل مستقیم ارتعاشات به صورت فعال و سیستمهای فعال جابجا کننده وزنه را نام برد . هر یک از این روشها کاربردهای خاص خود را داشته و این سیستمها هم اکنون در گستره وسیعی از المانهای دوار به کار می‌روند .
قدیمی‌ترین روش بالانس اتوماتیک استفاده از بالانس کننده‌های انفعالی است . محققین نشان داده‌‌اند که ارتعاشات ماشینهای دوار می‌تواند بوسیله یک سیستم بالانس غیر فعال کاهش یابد . سیستم غیر فعال ، بالانس کننده‌ای است که عملیات بالانس روتور را بدون نیاز به سیستم کنترل و یا محرک انجام می‌دهد .
برای کنترل فعال ارتعاشات در ماشنهای دوار دو تکنیک وجود دارد . تکنیک کنترل مستقیم ارتعاشات به صورت فعال (DAVC) که در آن بطور مستقیم یک نیروی عمود بر روتور اعمال می‌گردد یکی از این تکنیکها می‌باشد . در تکنیک دوم توزیع جرم روتور توسط ابزارهای خاص و با جا بجا کردن وزنه‌های تصحیح تنظیم می‌گردد.
در روش کنترل مستقیم ارتعاشات ، نیروی اعمالی به روتور توسط ابزارهای ایجاد کننده نیرو نظیر بیرینگهای مغناطیسی تولید می‌گردد مزیت مهم تکنیکهای DAVC این است که نیروی اعمال شده به روتور می‌تواند خیلی سریع تغییر نماید . این مزیت باعث می‌شود که بوسیله این سیستم بتوان ارتعاشات ناشی از نابالانسی ، ارتعاشات ازاد گذرا و سایر ارتعاشات موجود در ماشین‌‌های دوار را بطور کلی حذف نمود . محدودیت این سیستم ، حداکثر نیرویی است که عملگرهای تولید کننده نیرو می‌توانند اعمال نمایند .
در سرعتهای دورانی بالا ، نیروی نابالانسی سیستم می‌تواند به سطح فوق‌العاده‌ بالایی برسد و بیشتر ابزارهای اعمال نیرو نمی‌توانند نیروی کافی را جهت خنثی کردن آن ایجاد نمایند . در این شرایط روشهای جابجا کننده وزنه مناسب خواهد بود. در این روش ابزار خاصی که دارای مرکز جرم قابل تغییر است ، بر روی روتور نصب می‌گردد .پس از آنکه ارتعاشات ماشین اندازه‌گیری و وجود نابالانسی تشخیص داده شد ، مرکز جرم این ابزار در جهت مخالف نابالانسی سیستم تغییر می‌نماید و به این ترتیب ارتعاشات ماشین دوار به واسطه حذف منبع ارتعاشات ، یعنی نابالانسی روتور ، از بین می‌رود .
برخلاف ابزارهای نیرویی ، ابزارهایی تغییر توزیع جرم قادرند نیروهای زیادی را ایجاد نمایند اما سرعت عمل آنها پایین است . همچنین این ابزارها قادر به از بین بردن ارتعاشات گذرا و ارتعاشات غیر هماهنگ ماشین که ناشی از عیوب دیگر هستند ، نمی‌باشند .
1-2- تاریخچه
در این پروژه علاوه بر سیستمهای بالانس اتوماتیک ، بحث دینامیک روتورها و بالانس غیر اتوماتیک ، به عنوان پیش زمینه بالانس اتوماتیک مورد توجه قرار گرفته است ، مدل ریاضی روتور و روش بالانس مناسب آن ، اساس هر تکنیک بالانس اتوماتیک می‌باشد. لذا جهت تکمیل بحث مروری بر تکنیکهای مدلسازی دینامیک ماشینهای دوار مناسب می‌باشد .
تا کنون فعالیتهای علمی و تجربی فراوانی برای بررسی رفتار دینامیکی سیستمهای دوار صورت پذیرفته است . براین اساس مدلهای مختلفی با فرضهای مختلف ، براساس شرایط تکیه گاهی و اشکال مختلف روتور ، ارائه شده است . مدل صفحه‌ ای روتور ، ساده‌ترین مدل است . در این مدل حرکت تنها در صفحه‌ای که عمود بر شافت است ، مورد توجه قرار می‌گیرد . این مدل برای اولین بار توسط جفکات در سال 1919 ارائه گردید و به نام خود او معروف می‌باشد .هر چند روتور صفحه‌ای یک مدل خیلی ساده شده است ، اما می‌تواند درک خوبی از مفاهیم پایه دینامیک روتورها نظیر سرعت بحرانی ، اثر استهلاک و .... ارائه میدهد .
برای اینکه مدل ریاضی واقعی‌ تری از روتورهای صنعتی بدست آید لازم است روتور بصورت یک دیسک صلب که به کمک یک شافت الاستیک ( که خود بر روی بیرینگهای صلب نصب شده است ) حول یک محور ثابت دوران می‌کند ، فرض شود .
تفاوت اصلی این مدل با مدل جفکات این است که حرکت روتور به جای حرکت ذره‌ای بصورت حرکت جسم صلب بیان می‌گردد.این مدل می‌تواند مفاهیمی چون لنگ زنی مستقیم ومعکوس روتور تحت نیروی نابالانسی ، سرعتهای بحرانی ، اثر ژیروسکوپی و غیره را بیان نماید . تابعیت فرکانسی طبیعی نسبت به سرعت را می‌توان بوسیله این مدل پیش‌بینی نمود . شی وژو در سال 2001 معادلات حاکم بر چنین روتوری را در فضای حالت ارائه نموده‌ اند . آنها معادلات را با فرض ثابت نبودن سرعت دورانی روتور بدست آوردند . اگر چه این مدل رفتار روتورهای صلب را به خوبی ارائه می‌کند لیکن برای روتورهای پیچیده و با سرعتهای بالا نیاز به مدل روتور انعطاف پذیر می‌باشد .
مدلهای پیچیده روتور معمولاً شامل المانهای مختلفی نظیر دیسک ، بیرینگها ، شاف انعطاف پذیر ، واسطه‌ها، مستهلک کننده‌ها و ... هستند . برای مدلسازی این روتورها دو روش اجزا محدود و ماتریس انتقال ارائه شده است . رول و بوکر در سال 1972 از یک مدل اجزاء محدود جهت استخراج مشخصات دینامیکی توربو روتورها استفاده کردند . در مدل آنها تنها خمش الاستیک و انرژی جنبشی انتقالی در نظر گرفته شده است .
چند سال بعد دیمار گناس مدل عمومی‌تری را ارائه داد که در آن اینرسی دورانی ، اثر ژیروسکوپی و استهلاک داخلی نیز در نظر گرفته شده بود . گش در سال 1976 مدلی ارائه داد که از مدل دیمار گناس ساده‌تر بود اما شامل اثر توزیع خارج از مرکزی نیز بود. در پایان دهه هشتاد نلسون مدل خود را که شامل اینرسی دورانی ، اثر ژیروسکوپی و نیروی محوری بود با در نظر گرفتن استهلاک داخلی و اثر تغییر شکل برشی ارائه داد .
روش مهم دیگری که در آنالیز دینامیکی روتورهای انعطاف پذیر به کار می‌رود روش ماتریس انتقال است . این روش برای روتورهای « زنجیره وار » نسبتاً مناسب است . این روش در سال 1974 توسط لاند برای بررسی ارتعاشات پیچشی روتور مورد استفاده قرار گرفت مزیت این روش این است که نیازی به ذخیره سازی آرایه‌های بزرگ ماتریسی نمی‌باشد . در روش ماتریس انتقال محاسبات با شرایط مرزی در یک طرف روتور شروع وبه سمت انتهای دیگر روتور ادامه می‌یابد .حل مربوطه باید در طول مسیر تمام شرایط مرزی را در کلیه نقاط مرزی ارضاء نماید . عیب این روش این است که توسعه مدل در دامنه زمانی و آنالیز غیر خطی نتایج مناسبی نخواهد داشت اگر چه کامار و سانکار نشان دادند این کار غیر ممکن نمی‌باشد. به هر حال استفاده از این روش در سیستمهای بالانس فال مناسب نمی‌باشد .
بحث دینامیک روتورهای با سرعت متغیر در گذشته کمتر مورد توجه قرار گرفته است . قدیمی‌ ترین مقالات در مورد پاسخ گذاری روتورها احتمالاً از لوئیس می‌باشد . وی در سال 1932 با استفاده از یک روش گرافیکی ، پاسخی تقریبی برای مسأله حرکت ر وتور یک درجه آزادی و با استهلاک خطی از حالت سکون تا رسیدن به سرعت بحرانی ،‌ با شتاب ثابت ، بدست آورد .بعد از او شین ، در سال 1972 از قوانین نیوتن برای بدست آوردن فرمول بندی ریاضی برای آنالیز دینامیکی روتورهای انعطاف پذیر ، در دو حالت پایدار و گذرا ، استفاده نمود آخرین تحقیقات در این زمینه توسط شی و ژو انجام شده که پاسخ تحلیلی برای یک روتور صفحه‌ای ، با سرعت متغیر و شتاب ثابت را در سال 2001 بدست آوردند .
تا به حال فعالیتهای علمی و آزمایشگاهی فراوانی در مورد بالانس روتورها انجام شده و مقالات فراوانی در این زمینه در دسترس می‌باشد . روشهای مختلف بالانس را می‌توان از یک دیدگاه به صورت بالانس غیر اتوماتیک روتورهای صلب و انعطاف پذیر طبقه‌بندی نمود .
روشهای بالانس غیر اتوماتیک روتورهای صلب در صنعت بسیار رایج است . دراین روش روتور بصورت صلب مدل میگردد و حین کار نمی‌تواند تغییر شکل الاستیک داشته باشد . وک بیان می‌دارد که هر نابالانسی موجود در روتورهای صلب را می‌توان به کمک عملیات بالانس در دو صفحه از میان برد .
روشهای بالانس در روتورهای صلب به ‌آسانی انجام پذیراند اماتنها در روتورهای با سرعت پایین ، که فرض صلبیت اعتبار دارد ، قابل استفاده هستند . روتورهایی که دارای سرعت کارکردی بالاتر از 70% سرعت بحرانی خود می‌باشند ، جزء دسته‌بندی روتورهای انعطاف پذیر قرار می‌‌گیرند .روشهای بالانس روتورهای صلب قابل استفاده برای روتورهای انعطاف پذیر نیستند .


برای بالانس روتورهای انعطاف پذیر سه روش پیشنهاد گردیده است . این سه روش عبارتند از : عملیات بالانس مودال ، روش ضرائب اثر و روشهای ترکیبی . در روش بالانس مودال ، هر مد ارتعاشی بوسیله تنظیم وزنه‌ها طوری بالانس می‌شود که بالانس مد قبلی از بین نرود . اولین تکنیک بالانس شبیه به این روش توسط گربل در سال 1953 پیشنهاد داده شده و در سال 1972 بوسیله بای شاپ مورد تجزیه و تحلیل تئوری و عملی قرار گرفت . دارلو در سال 1989 بررسی‌های کاملی در مورد این روش ارائه داده است در این روش معمولاً از روندهای تحلیلی جهت انتخاب وزنه‌های تصحیح استفاده می‌شود و لذا یک مدل دینامیکی دقیق از روتور مورد نیاز خواهد بود . به همین دلیل معمولاً توسعه این روش برای الگوریتم‌های بالانس اتوماتیک مشکل بوده و از دقت کافی نیز برخوردار نمی‌باشند .
برخلاف روش بالانس مودال ، ضرایب اثر یک روش تجربی است . این روش ا ب تدا در سال 1964 بوسیله گودمن پیشنهاد شد و سپس در سال 1972 توسط لاند و تانسون مورد بررسی قرار گرفت . بعد از آن تسارزیک و دیگران این روش را اصلاح کردند در این روش ، میزان ارتعاشات هر بیرینگ در اثر ایجاد نابالانسی واحد در هر صفحه بدست می آید و نسبت این ارتعاشات به نابالانسی‌ها ، ماتریس ضرایب اثر را تشکیل خواهد داد . از معکوس این ماتریس می‌توان جهت محاسبه نابالانسی روتور بوسیله مقادیر اندازه‌گیری شده ارتعاشات بیرینگها استفاده نمود .
روش ضرایب اثر یک روند کاملاً تجربی دارد و براحتی می‌توان آن را برای بالانس اتوماتیک به کار برد . لیکن عیب این روش این است که تعداد استارتهای آزمایشی زیادتری مورد نیاز خواهد بود . همچنین اگر سرعت کار روتور تغییر کند کلیه عملیات باید از ابتدا تکرار گردد زیرا ضرایب اثر به سرعت دوران روتور نیز وابسته هستند . استفاده از بالانس کننده‌ های اتوماتیک این عیب را مرتفع می‌نماید .
روش بالانس ترکیبی سعی در ترکیب روشهای مودال و ضرایب اثر جهت دستیابی به نتیجه بهتر با تعداد استارت کمتر دارد . پایه تئوری و روند تجربی این روش در سال 1987 بطور مفصل توسط دارلو شرح داده شده است .
روشهای بالانس اتوماتیک به دودسته انفعالی یا غیر فعال و فعال تقسیم می‌گردد . بالانس کننده‌های غیر فعال خود به دو دسته کلاسیک و غیر کلاسیک قابل تقسیم می‌باشند . بالانسرهای انفعالی غیر کلاسیک زمینه‌های کاربردی زیادی ندارند و فقط اختراعاتی در مورد آن به ثبت رسیده است . از سیستمهای کلاسیک بالانسر رینگ و گلوله کاربرد صنعتی داشته و مورد توجه محققین قرار گرفته است . اولین بالانس کننده اتوماتیک غیر فعال در سال 1950 بوسیله تیارل پیشنهاد داده شد. وی ابزاری را تشریح کرد که در آن یک یا دو گلوله و یا حلقه در یک شیار دارای استهلاک لزح واقع بر روی روتور می‌ توانستند آزادانه حرکت کنند . او نشان داد که روتورهای صفحه‌ ای بوسیله این ابزار بطور اتوماتیک بالانس می‌شوند . این مسئله براساس خصوصیات دینامیکی سیستم امکان پذیر می‌باشد .
یک سیستم رینگ و گلوله توسط الکساندر در سال 1964 مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته ولی طرز کار سیستم به خوبی تشریح شده است . یک سال بعد کید ملزومات یک سیستم رینگ و گلوله را تشریح کرده ، اما به طور واضح پیش زمینه‌ های تئوری سیستم را بیان نکرده است . در سال 1986 بویک و هاگفرس با استفاده از تئوری آشفتگی نشان داد که برخی از روتورهای انعطاف پذیر رفتار بالانس اتوماتیک از خود نشان می‌ دهند .
در سال 1966 لی و وان مورهم بررسی‌هایی تئوری و آزمایشگاهی بر روی یک سیستم انفعالی انجام داده‌اند . آنها نشان داده‌اند که یک سیستم رینگ و گلوله تنها زمانی می‌تواند یک ماشین دوار را بالانس کند که سرعت ماشین بالاتر از سرعت بحرانیش باشد . البته آنها توضیح نداده‌اند که چرا یک بالانسر انفعالی در بعضی موارد که سرعت بالاتر از سرعت بحرانی هست نمی‌ تواند عمل بالانس را انجام دهد .به عبارت دیگر مقاله آنها ملزومات واضح و قطعی یک بالانسر اتوماتیک را برای بالانس سیستم دوار بیان نمی‌کند .
همچنین آقای چانگ در سال 1999 بررسی‌های تئوری و آزمایشگاهی بر روی یک بالانسر اتوماتیک که بر روی یک روتور جفکات نصب شده است انجام داده ونتایج نسبتاً خوبی بدست آورده‌اند . آنها با استفاده از فرمول لاگرانژ معادلات حرکت سیستمی که دارای تعداد گلوله‌ های دلخواه است را استخراج نموده‌اند .
بالانس کننده‌های فعال به دودسته سیستمهای کنترل مستقیم وفعال ارتعاشات و ابزارهای جابجا کننده وزنه تقسیم شده‌‌اند . کنترل فعال ارتعاشات برای ماشینهای دوار حالت خاصی از کنترل فعال ارتعاشات بر روی سازه‌های انعطاف پذری است . سرفصلهای عمومی کنترل ارتعاشات در اواخر دهه هشتاد بوسیله مایروویچ ، اینمان و سایمونس مورد بحث قرار گرفته است .
تفاوت بین ماشینهای دوار وسازه‌های انعطاف پذیر این است که در ما شینهای دوار دینامیک روتور بوسیله تغییر سرعت دوران تغییر می‌کند .به دلیل اینکه شافت یک عضو متحرک است از یک ابزار غیر تماسی برای اعمال نیروی کنترلی بر روی شافت ا ستفاده می شود . ابزارهای مختلفی جهت کنترل فعال ارتعاشات وجود دارد که ابزارهای الکترومغناطیسی ، هیدرولیکی و پیزوالکتریک از این جمله هستند . بیرینگ‌های مغناطیسی که یک تکنولوژی مورد استفاده در صنعت بوده و دارای رشد روز افزون است ، مناسب‌ ترین انتخاب برای کنترل ارتعاشات روتور می‌باشد . بیرینگهای مغناطیسی می‌توانند با اعمال یک نیروی سینوسی با فرکانس برابر سرعت دوران به شافت ، نابالانسی روتور را کنترل نمایند .
در سال 1996 ناسپ و تامر یک روش کنترل حلقه باز تبدیلی را برای کنترل ارتعاشات ناشی از نابالانسی با استفاده از بیرینگهای مغناطیسی ارائه دادند . در این روش یک نیروی سینوسی با دامنه و فاز مناسب به روتور اعمال می‌گردد و به این ترتیب ارتعاشات روتور به حداقل می‌رسد .
همچنین الگوریتم‌های کنترلی مناسب‌تری توسط محققین مختلف جهت حذف کامل ارتعاشات به کار برده شده است . به عنوان نمونه فیروزیان و استانوی در سال 1988 یک تکنیک مشاهده کننده با متغیرهای حالت کامل را برای طراحی یک سیستم کنترل فعال و حلقه بسته به کار بردند و پایداری سیستم را مورد بررسی قرار دادند . هوپ و ناسپ نیز یک روش وفقی برای کنترل حلقه بسته ارتعاشات توسط بیرینگ‌های مغناطیسی ارائه داده‌‌اند .
دسته دیگری از سیستمهای کنترل فعال ، ابزارهای جابجا کننده وزنه هستند . اولین تحقیقات در مورد بالانس کننده توزیع جرم در سال 1964 توسط ون دی وگتاانجام شد . عملکرد سیستم توزیع جرم براساس حرکت وزنه‌های تصحیح در راستای دو محور ( که نسبت به روتور ثابت هستند ) استوار است . وزنه ها به کمک دو سرو موتورکوچک حرکت می‌کنند و برق مورد نیاز این موتورها به کمک رینگهای لغزشی تأمین می‌گردد .بنابراین عملیات بالانس می‌تواند در حین چرخش روتور صورت پذیرد . تنها ورودی سیستم کنترل فعال ، از اندازه‌گیری ارتعاشات ناشی از نابالانسی در بیرینگها بدست می آید . ون دی وگتا دریافت که اگر سرعت کاری به اندازه کافی از سرعت بحرانی شافت دور باشد ، نابالانسی موجود در سیستم را می‌ توان با استفاده از ارتعاشات بیرینگها و ضرایب اثر از پیش تعیین شده محاسبه نمود . اما اگر سرعت کاری نزدیک سرعت بحرانی باشد خطاهای ناشیس از اندازه‌‌گیری وتخمین ضرایب اثر باعث عملکرد نامناسب سیستم می‌شود . در این موارد روشهای بالانس مودال راهگشا خواهد بود .
ون دی و گتا در تحقیقات بعدی خود از دو عملگر برای کنترل موقعیت وزنه‌ها در دو صفحه بالانس استفاده نمود . به دلیل اینکه در آن زمان کنترل خاصی بر روی موتورها وجود نداشت ، تنظیم موقعیت وزنه‌ها در دو صفحه براساس سعی و طخا و بصورت متناوب تا رسیدن به شرایط بهینه ارتعاشی ادامه می‌یافت . وی از سه معیار کنترلی حداکثر کردن نابالانسی بطور متناوب ، حداقل کردن مجموع مربعات ارتعاشات بیرینگها و حداقل کردن مجموع ارتعاشات بیرینگها استفاده نمود . بای شاپ در سال 1982 روش پیشنهادی ون دی وگتا را مورد نقد قرار داد . او دریافت که اگر یکی از سرعتهای بحرانی علت اصلی ارتعاشات باشد و این سرعت بحرانی از دیگر فرکانسهای طبیعی سیستم به اندازه کافی دور باشد ، عملیات بالانس با استفاده از یک صفحه بالانس نیز نتیجه خوبی در پی خواهد داشت .
گوسیوسکی در سال 1985 به تحقیق وبررسی انجام اتوماتیک بر روی روتورهای انعطاف پذیر پرداخت . کامپیوترهای دیجیتال به عنوان کنترلر در طرح او مورد استفاده قرار گرفت . روش گوسیوسکی توسعه‌ای از روش ضرایب اثر بود که در آن برای جابجایی وزنه‌ها از همان ابزار پیشنهادی ون دی و گتا استفاده شد .او در روش خود فرض کرد که ضرایب اثر قبلاً تعیین شده و در حافظه کامپیوتر موجود می باشند . همچنین او دریافت که با استفاده از سیستم جابجا کننده وزنه می‌توان ضرایب اثر را در حین کار عادی روتور نیز تعیین کرد ولی الگوریتم این کار را ارائه نداد .
دیر ونی در سال 1999 طرح کنترلی تبدیلی را که ترکیبی از تخمین ضرایب اثر در حین کار وروش بالانس روتورهای انعطاف پذیر بود ، ارائه کردند و روش خود را بوسیله یک ابزار جابجا کننده وزنه بطور موفقیت آمیز آزمایش نمودند . زنگ و وانگ سیستم جابجا کننده وزنه الکترومغناطیسی را در سال 1998 پیشنهاد دادند . در ابزار پیشنهادی آنها وزنه‌های تصحیح توسط نیروهای الکترومغناطیسی در یک مسیر دایره‌ای روی روتور حرکت می‌کردند ی. همچنین آنها الگوریتم‌ کاملی برای تعیین ضرایب اثر و بالانس اتوماتیک روتور ارائه دادند .
امروزه کاربردهایی از سیستم بالانس اتوماتیک مدنظر قرار گرفته که در آنها لازم است بالانس اتوماتیک در حین شتاب گرفتن روتور انجام گیرد . یکی از مهم‌ترین این کاربردها در « ماشینکاری قطعات با سرعت بالا » می‌باشد . شی و ژو در سالهای اخیر فعالیتهای علمی و تجربی گسترده‌ای را در این زمینه انجام داده‌ اند . آنها قصد دارند جواب مختلف بالانس اتوماتیک روتورهای با سرعت متغیر را بررسی نمایند و تا کنون مباحثی چون روشهای بالانس وفقی ، بالانس بهینه تک صفحه‌ای و تخمین نابالانس بوسیله مشاهده کننده متغیر با زمان را برای روتورهای در حال شتاب گیری مورد بررسی قرار داد‌ه‌اند .
1-3 خلاصه پروژه
در این پروژه ابتدا دینامیک روتورها مورد مطالعه‌ی اجمالی قرار گرفته است .در فصل بعد علاوه بر یک سری مفاهیم عمومی روتور دینامیک ، مانند دیاگرام کمبل و سرعتهای بحرانی ، معادلات حرکت و پاسخ نابالانسی روتور جفکات ، روتور صلب با در نظر گرفتن اثرات ژیروسکوپی و یک مدل ساده از روتورهای انعطاف پذیر ارائه گردیده است . از این مدلها و معادلات برای شبیه‌سازی سیستم بالانس اتوماتیک استفاده خواهد شد .
الگوریتم‌های متداول برای بالانس ماشینهای دوار به عنوان اساس روشهای بالانس اتوماتیک به کار برده می‌شوند . روشهای بالانس تک صفحه‌ای و دو صفحه‌ای برای روتورهای صلب و روشهای بالانس مودال و ضرایب اثر برای روتورهای انعطاف پذیر مورد بررسی قرار گرفته و معادلات مربوطه ارائه شده است . از فرمول بندی‌های ارائه شده در این فصل برای نوشتن برنامه‌ها و الگوریتم‌ های کنترل سیستم بالانس اتوماتیک استفاده خواهد شد .
در فصل سوم روش بالانس اتوماتیک انفعالی به عنوان یکی از مهم‌‌ترین و پر کاربردترین روشها مورد بحث قرار گرفته است . با توجه به اینکه این روش به عنوان هدف نهایی این پروژه مد نظر نبوده است ، لذا فقط نحوه‌ی عملکرد اینگونه سیستمها ، معادلات حرکت و مکانهای تعادل برای بالانسر رینگ و گلوله دو وزنه‌ای و چند وزنه‌‌ای ، در حالتهای روتور همسان و ناهمسان ارائه شده است . بررسی مسائلی مانند پایداری مکانهای تعادل و.... بحثهای مفصل وپیچیده‌ای هستند که بررسی آنها خود مجال دیگری را می طلبد .
در فصل چهارم بررسی سیستمهای بالانس اتوماتیک جابجایی وزنه پرداخته شده است .روشهای مختلف جابجایی وزنه بر روی روتور که تا کنون در فعالیتهای علمی و یا سیستمهای صنعتی به کار رفته است به صورت خلاصه شرح داده شده‌ اند . این روشها به سه دسته‌ هدهای بالانس قطبی ، دکارتی و جابجایی مایع تقسیم گردیده و معادلات حاکم بر رفتارهر یک استخراج گردیده است .همچنین براساس اینکه هد بالانس توانایی اندازه‌گیری موقعیت وزنه‌های تصحیح را داشته باشد یا نه ، الگوریتم کنترل و بالانس مناسب شرح داده شده است . روش جابجایی بهینه که مبتنی بر سعی و خطا می‌باشد ، به عنوان روش مناسبی برای سیستمهایی که موقعیت وزنه‌های آنها معلوم نمی‌باشد ارائه گردیده است . البته این روش برای روتورهای انعطاف پذیر که بیش از دو هد بالانس نیاز داشته باشند کارایی نخواهد داشت .
روشهای کنترل جابجایی مشخص براساس روش ضرایب اثر و یا مودال فرموله شده‌ اند . در این روشها بایستی بتوان موقعیت اولیه وزنه‌ها را تشخیص داده وبراساس ارتعاشات اندازه‌گیری شده و الگوریتم بالانس انتخاب شده موقعیت نهایی وزنه‌ها محاسبه گردد. پس از آن وزنه‌ها از موقعیت اولیه به موقعیت نهایی جابجا شده روتور بالانس می‌گردد. روش جابجایی مشخص بر پایه بالانس مودال یا ضرایب اثر بنا می‌شود و در هر دو حالت دارای مشکلات و نقطه ضعفهایی می‌باشد . در پایان سعی شده است با استفاده از یک روش ترکیبی از بالانس مودال و ضصرایب اثر الگوریتم بالانس اتوماتیک مناسبی پیشنهاد شود که برخی از مشکلات و نقاط ضعف روشهای قبلی را نداشته باشد .
فصل دوم:
دینامیک سیستمهای دوار
مبحث دینامیک روتورها پایه کلیه مطالعات در زمینه‌ سیستمها یا ماشینهای دوار می‌باشد . براین اساس در آغاز هر مطالعه یا تحقیقی که مربوط به روتورهاست بررسی رفتار دینامیکی روتور ضر ورتی اجتناب ناپذیر است . لذا در طرح حاضر نیز قبل از هر چیز به مطالعه این موضوع پرداخته می‌شود .
برای نمونه محاسبه فرکانسهای طبیعی و سرعتهای بحرانی یک ماشین دوار ، تفاوت این دو اصطلاح و محاسبه پاسخ ارتعاشی یک روتور به نابالانسی از جمله مباحثی هستند که به طور مرتب در فصلهای بعدی مورد نیاز خواهند بود . دانستن مفاهیمی چون ناپایداری ارتعاشی و تفاوت آن با فرکانس بحرانی ، تأثیرات ژیروسکوپی و اثرات آن در سرعتهای بحرانی ، دیاگرام کمبل ، ارتعاشات آزاد و اجباری روتور ولنگ زنی روتورها در فهم بهتر مباحث آتی بسیار مفید خواهد بود .
در مطالعه رفتار دینامیکی روتورها سعی شده است کلیه مباحثی که در فصلهای بعدی مورد نیاز خواهد بود بررسی گردد و از ‌آوردن مطالب اضافی یا غیر ضروری در این پایان نامه خودداری شده است . قبل از هر چیز ارائه تعریف دقیقی از روتوردر مهندسی مکانیک و تفاوت آن با دیگر سازه‌های دینامیکی در ادامه بحث راه گشا خواهد بود .
2-1 روتورها و سازه‌ها
سازه‌ها قطعات والمانهای ثابتی هستند که مشخصات آنها را می‌ توان در یک دستگاه اینرسی تعریف کرد . بعضی از المانهای ماشین را نمی‌ توان در غالب سازه‌ها مورد مطالعه قرار داد و این به خاطر دوار بودن آن قطعات است و اینکه نمی‌ توان برای آنها یک دستگاه اینرسی ثابت تعریف نمود .
براساس تعریف ISO ، یک روتور جسمی است که بر روی مجموعه‌ ای از تکیه گاههای استوانه‌ای قرار دارد که به آن اجازه می‌ دهند بطور ‌آزادانه حول محور خود که در فضا ثابت است دوران کند . به دلیل اینکه در مورد نوع تکیه گاهها با وجود داشتن آنها بحثی نشده لذا به بسیاری از گردنده‌ها و اجسام آسمانی هم که حول محور با جهت ثابت خود در فضا دوران می‌کنند می‌توان روتور اطلاق کرد و بسیاری از مواردی را که خواهیم گفت در مورد آنها نیز صادق است . دیگر قطعات ماشین که دوار نیستند به طور عمومی استاتور نامیده می شوند .
چندین فرض ساده کننده به ما اجازه خواهد داد تا مدل ریاضی نه چندان پیچیده‌تر برای مطالعه رفتار روتورها بدست آوریم . معادلاتی که حرکت یک جسم صلب را در فضای سه بعدی شرح می‌دهند واقعاً پیچیده هستند ، مخصوصاً وقتی که درجات آزادی دورانی در نظر گرفته شده اجازه استفاده از هیچ مدل خطی شده‌ای را به ما نمی‌ دهند . با تعریف دستگاه‌های مختصات XYZ و xyz ( اولی اینرسی و دومی متصل به جسم صلب و منطبق بر محورهای اینرسی اصلی جسم ) ، و با اعمال نیروی عمومی و ممان شش معادله حرکت به صورت زیر نوشته می‌شود .
سه معادله آخر برای درجات آ‌زادی دورانی معادلات معروف اویلر هستند که برحسب سرعت زاویه ای کاملاً غیر خطی‌‌اند .برای حالت خاص روتورها ، ساده سازیهایی برای خطی کردن معادلات مربوط به درجات آزادی دورانی امکان پذیر می‌باشد . اگر روتور کاملاً بالانس باشد ، در حالت تغییر شکل نیافته ، دارای یک محور دوران ثابت است که بریکی از محورهای اینرسی جسم منطبق است ، در واقع این فرض بصورت تقریبی درست است زیرا نابالانسی ، یعنی انحراف از حالت اید‌‌ه آل معمولاً کوچک است . همچنین جابجایی محور دوارن از موقعیت اصلی ‌اش در اثر تغییر شکلهای سیستم ، کوچک فرض می‌شود . دو فرض کوچک بودن نابالانسی و تغییر مکانهای کوچک به ما اجازه خطی کردن معادلات را می‌دهد . مشابه این مساله در دینامیک سازه‌ها نیز با کوچک فرض کردن تغییر شکلها برای بدست آوردن معادلات حرکت خطی وجود دارد .
فرض عمومی دیگر وجود تقارن محوری روتور است . اگر این فرض برقرار باشد ، مطالعه دینامیکی خیلی ساده‌تر می‌شود و معمولاً دستگاه مختصات غیر دوار نیز می‌تواند برای مطالعه رفتار روتور انتخاب گردد . اگر نتوان روتور را دارای تقارن محوری دانست ، معادلات خیلی پیچیده می‌شود مگر اینکه فرض تقارن محوری بر روی قسمت غیر دوار سیستم برقرار باشد . در این حالت یک دستگاه مرجع که با سرعت زاویه‌ای روتور دوران می‌کند می‌ تواند مورد استفاده قرار گرفته ومعادلات ساده‌تری بدست آید .اگر روتور و استاتور هر دو نسبت به محور دوران ، ایزوتروپیک باشند ، می‌توان یک مدل کاملاً ساده بدست آورد .
2-2 ارتعاشات روتورها و دیاگرام کمبل
معمولاً در مطالعه رفتار دینامیکی روتورها ، سرعت زاویه‌ای حول م حور روتورثابت فرض می‌شود و یا حداقل سرعت متوسط آن ثابت فرض می‌شود با توجه به اینکه فرکانس طبیعی یک روتور یا ماشینی که دارای روتور می‌باشد وابسته به سرعت دوران روتور است ، لذا برای بیان رفتار دینامیکی این سیستمها فرکانسهای طبیعی را در نموداری بر حسب سرعت دوران رسم می‌ کنند . همچنین در بیشتر موارد فرکانس نیروهای تحریک نیز وابسته به سرعت دوران هستند و فرکانس این نیروها را نیز می‌توان در نمودار مشابهی ترسیم نمود . چنین نمودارهایی معمولاً به عنوان دیاگرام کمبل شناخته می شوند . حالتهایی وجود دارد که در آنها فرکانس‌های طبیعی وابسته به سرعت چرخش نیستند ، در این حالات دیاگرام کمبل به صورت یک خط افقی در می ‌آید . نمونه‌ای از این دیاگرام برای روتوری که دارای فرکانس طبیعی ثابت است در شکل (2-1 ) نشان داده شده است .
باید توجه داشت که دیاگرام کمبل فقط برای سیستمهای خطی ترسیم شود ، زیرا تنها در این حالت مفهوم عمومی فرکانس طبیعی وجود دارد . بنابراین در حالت سیستمهای غیر خطی ، دیاگرام کمبل مربوط به سیستم خطی شده می‌تواند اطلاعات مفیدی از رفتار سیستم به ما بدهد .
شکل 2-1 نمایش ترسیمی سرعتهای بحرانی در حالتی که سرعتهای بحرانی ثابت هستند (دیاگرام کمبل )
2-3 ارتعاشات اجباری روتورها و سرعتهای بحرانی
اغلب روتورها تحت تاثیر نیروهای متغیر با زمان بوده که در بیشتر موارد این نیروها هارمونیک هستند . به عنوان مثال نیروی ناشی از نابالانسی روتور می‌ تواند بصورت یک بردار دوار که با سرعتی مساوی با سرعت چرخش روتور ، دوران می‌ کند تشریح شود و مولفه‌های آن در دستگاه مرجع ثابت ، بصورت هارمونیک با فرکانس دوران نسبت به زمان تغییر می‌کند . در حالات دیگر تاریخچه زمانی به این سادگی نیست ، اما اگر تغییرات پریودیک باشد می‌ تواند بصورت مجموعی از اجزاء هارمونیک نوشته شود . همچنین برای روتورها حالاتی نیز وجود دارد که در آنها توابع نیرو فقط به روشهای آماری قابل بیان می‌باشد .
در دو حالت اول ، فرکانس تاب نیروواجزای هارمونیک آن اغلب مضربی از سرعت چرخش روتور هستند و می‌توانند در دیاگرام کمبل ترسیم شوند . برای نمونه در حالت تحریک بر اثر نابالانسی ، فرکانس نیرو در صفحه بوسیله خط راست ( نیمساز ربع اول ) بیان می‌شود ( شکل 2-1) . به این حالت تحریک هم سرعت گفته می‌شود .
رابطه مشابه بین فرکانس نیرو و سرعت دوران اغلب بصورت ساده و تناسبی بوده ، می‌ توان آنها را در دیاگرام کمبل بوسیله خطوط راست که از مبدا می‌‌گذرند بیان کرد.
سرعت دورانی که در آن یکی از فرکانسهای طبیعی روتور با سرعت چرخش برابر باشد ، سرعت بحرانی روتور نامیده می شود . سرعتهای بحرانی را در دیاگرام کمبل با بدست آوردن نقاط تقاطع منحنی‌‌ها‌ی فرکانس طبیعی با فرکانس نیروها می‌توان تعیین کرد .
محدوده سرعت روتور بین صفر تا اولین سرعت بحرانی ، محدوده سرعت زیر بحرانی نامیده می‌شود . سرعتهای بالاتر از اولین سرعت بحرانی ،محدوده فوق بحرانی نامیده می شود. امروزه تعداد رو به رشدی از ماشینها در محدوده فوق بحرانی کار می‌کنند و حداقل از یکی از سرعتهای بحرانی خود در هنگام شروع کار و توقف عبور می‌‌کنند .
اگر نمودار کمبل مربوط به ا رتعاشات عرضی بصورت خط مستقیم موازی با محور باشد ، مثلاً اگر فرکانس طبیعی وابسته به سرعت نباشد ، مقدار عددی سرعت بحرانی برابر آن فرکانس طبیعی در حالت توقف ماشین خواهد بود . این موضوع در شکل (2-1) نشان داده شده است . شاید بتوان اشتباهاتی که معمولاً بین مفهومهای سرعت بحرانی و فرکانس طبیعی پیدا می‌شود را به این مورد خاص نسبت داد . حتی اگر مقدار عددی این دوکمیت برابر باشد باز هم دو پدیده متفاوت هستند و به خصوص وقتی که تنشهای روتور مورد توجه قرار می گیرد این تفاوت جدی‌تر است .
چنانچه در دستگاه متصل به روتور به نیروی ناشی از نابالانسی ، که در یک دستگاه مرجع ثابت می‌توان آنرا بصورت یک بردار با سرعت دوران در نظر گرفت ، نگاه کنیم دارای جهت ثابت خواهد بود . اگر ماشین دارای تقارن محوری باشد ، در سرعت بحرانی روتور در حالت تغییر شکل یافته خواهد چرخید اما ارتعاش نخواهد داشت وتنشهای سیکلی بوجود نمی آید . در حقیقت سرعت بحرانی عرضی را می‌ توان سرعتی تعریف کرد که در آن نیروی گریز از مرکز ناشی از خمش روتور در تعادل بی‌ تفاوت با نیروی بازگرداننده الاستیک قرار می‌گیرد واز این نقطه نظر این حالت به مشخصه‌های ناپایداری الاستیک شبیه‌تر است ، تا اینکه حاکی از پدیده‌های ارتعاشی باشد . روتوری که در سرعت بحرانی می‌چرخد تحت هیچ ارتعاشی قرار نمی‌گیرد اما منبع تحریک پریودیک شده و باعث ارتعاش ، غالباً بسیار قوی ، در اجزاء غیر دوار ماشین می‌شود .
گذشته از سرعت بحرانی عرضی ، سرعت بحرانی پیچشی هم می‌تواند بسیار خطرناک باشد ، بویژه برای ماشینهای رفت و برگشتی این خطر شدیدتر است ، امروزه ابزارهای زیادی که هدفشان کاهش دامنه ارتعاش بوجود آمده در سرعت بحرانی است ، ساخته شده است .
تعریف سرعت بحرانی به صورت قابل فهم فقط برای سیستم خطی امکان پذیر است واین تعریف برای روتورهای غیر خطی استفاده نمی‌شود . بنابراین اغلب تعریف عمومی‌تری برای سرعت بحرانی ارائه می‌شود وآن « سرعت چرخشی است که در آن ارتعاشات بسیار شدید بوجود می آید » این سرعت که روتورهای غیر خطی را نیز تحت پوشش قرار می‌دهد ، تا حدودی متغیر است چرا که دامنه ارتعاش به علتی که آنرا بوجود آورده نیز وابسته است ، در روتورهای غیر خطی سرعتی که در آن بیشترین دامنه ارتعاشی بوجود می آید ،‌که براساس تعریف اخیر سرعت بحرانی نام دارد ، به کمیتی مربوط به علت تحریک نیز وابسته است ( برای مثال نابالانسی مسبب سرعت بحرانی عرضی است ) برعکس ، در سیسیتمهای خطی ، سرعت بحرانی مشخصه‌ای از سیستم بوده و به تحریک وابسته نیست .
2-4- معادلات حرکت سیستم بدون استهلاک
ساده‌ترین مدل که برای مطالعه ارتعاشات عرضی روتورها می‌توان مورد استفاده قرار د اد ، روتور جفکات نام دارد که عبارت است از یک جرم نقطه‌ای m که به یک شافت بدون جرم متصل است . تنها نیروی وارد بر جرم ، ناشی از نیروی بازگشتی الاستیک ( فنریت ) شافت می‌باشد . از نیروی وزن روتور صرفنظر می‌کنیم اما این فرض چندان از اعتبار مدل نمی‌کاهد . سختی k که نیروی بازگشتی را فراهم می‌کند می‌تواند سختی شافت ، سازه تکیه گاهها یا ترکیبی از این دو باشد تا زمانی که سیستم بدون استهلاک و با تقارن محوری است ، دو شماتیک رسم شده در شکل ( 2-2 ) نتایج یکسانی به ما می‌دهند .
نقطه P که جرم m در آن قرار گرفته همواره در صفحه XY قراردارد . این شرایط با جدا کردن حرکتهای محوری و شعاعی و با در نظر گرفتن فرض تغییر مکانهای کوچک که اساس آنالیز سازه‌ ای خطی است ، تحقق می‌یابد .
در مطالعه رفتار عرضی ، یک مدل با دو درجه آزادی قابل استفاده است . اگر X و Y مختصات نقطه P در زمان t باشد ، معادلات حرکت جرم m بسادگی بصورت زیر بدست می آید :
شکل 2-2 شکل شماتی ک روتور جفکات در حالت تغییر شکل یافته
الف – شافت انعطاف پذیر روی تکیه گاههای صلب ، ب- شافت صلب روی تکیه گاه‌های انعطاف پذیر
مطالعه حرکت در امتداد هر یک از محورهای مختصات مانند معادله حرکت آزاد یک سیستم یک درجه آزادی بوده و پاسخ آن حرکت هارمونیک با فرکانس می‌باشد . حرکت نقطه p می‌تواند ترکیب دوحرکت هارمونیک در طول محور X و Y با فرکانس یکسان ، برابر با فرکانس طبیعی شافت بدون دوران در نظر گرفته شود . این دو حرکت می‌توانند با هم جمع شده و مسیر نقطه P بدست آید . این مسیر بسته به شرایط اولیه ، دایره‌ای ، بیضوی و یاخط راست در صفحه XY است . نتایج مشابهی با استفاده از مختصات مختلط در صفحه XY بدست می آید :
(2-3)
با ضرب واحد مختلط I در معادله دوم (2-2) و جمع کردن آن دو معادله رابطه زیر بدست می‌آید :
(2-4)
حل این معادله دیفرانسیل همگن بصورت که W0 یک عدد مختلط بصورت می‌باشد . با قرار دادن این ح ل در معادله (2-4) معادله جبری همگن ( معادله مشخصه ) بدست می آید. حل عمومی معادله ( 2-4) بصورت زیر می‌باشد .
(2-5)
دیاگرام کمبل مربوط به یک روتور جفکات بصورت خط مستقیم است که نمونه آن در شکل (2-1) نشان داده شده است . سرعت بحرانی عرضی ، به سرعتی گفته می شود که در آن فرکانس طبیعی برابر با فرکانس دوران می‌ گردد که در این حالت برابر فرکانس طبیعی سیستم در حالت سکون نیز می‌باشد .
(2-6)
شکل 2-3 وضعیت نابالانسی یک روتور جفکات در زمان t
در عمل مرکز ثقل جرم m ( نقطه p) نمی‌تواند کاملاً منطبق با مرکز مقطع شافت (نقطه C) باشد اگر چه فاصله بین دو نقطه می‌تواند کوچک باشد . وجود خارج از مرکزی ‌( شکل 2 -3) سبب یک نابالانسی استاتیکی می‌شود که می‌تواند تاثیر بسیار بزرگی در رفتار سیستم بگذارد .
با وجودی که زاویه بین خط CP ومحور X بوسیله سیستم محرک تعیین و کنترل می‌شود ، باز هم تعداد درجات آزادی سیستم 2 خواهد بود . فرض کنید مختصات نقطه C ، مختصات تعمیم یافته باشد . بردار موقعیت و سرعت نقطه P و تابع لاگرانژین به ترتیب عبارتند از :
معادله حرکت شافت را می‌توان با استفاده از معادلات لاگرانژ بصورت زیر بدست آورد :
با ضرب معادله حرکت دوم ( 2-8) در واحد مختلط i وجمع دو معادله ، معادله حرکت زیر برحسب مختصات مختلط W بدست می آید .
(2-9)
قسمت همگن معادله شبیه معادله ( 2-4) بوده و شامل سرعت زاویه‌ای روتور نمی‌شود. این قسمت معادله قبلاً مورد قرار گرفت .

2-5 - پاسخ نابالانسی سیستم بدون استهلاک در سرعت ثابت
اگر سرعت زاویه ثابت فرض شود ، زاویه بصورت قابل بیان بوده و معادله (2-9) بصورت زیر ساده می‌شود :
(2-10)
با جایگزینی انتگرال ویژه معادله فوق ، که عبارت ساده می‌باشد ، در معادله ( 2-10) آنرا به معادله جبری تبدیل کرده و از آن معادله زیر بدست می آید :
(2-11)
سرعت بحرانی تعریف شده بوسیله معادله ( 2-6) می‌باشد . مقدار دامنه W0 بصورت حقیقی بدست می آید .در نتیجه ، بردار (CO) یا W ،‌در صفحه XY می‌ چرخد و همراستا با بردار (PC) باقی می‌ماند . مقدار که مخرج رابطه W0 در معادله (2-11) را صفر می‌نماید و موجب بینهایت شدن دامنه می‌ گردد، برابر با سرعت بحرانی عرضی روتور می‌باشد .

2-6 – معادلات حرکت روتور جفکات دارای استهلاک
برای بررسی استهلاک در روتورها باید توجه داشت که دودسته استهلاک در یک ماشین دوار وجود دارد دسته اول استهلاکی موجود در قسمتهای ثابت ماشین است که به آن استهلاک غیر دوار گفته می شود اثرات استهلاکی موجود در اجزاء روتور به استهلاک دوار معروف است . ضریب میرایی دوار با Cr و ضریب میرایی غیر دوار با Cn نشان داده می‌شود.
با اضافه کردن نیروی تعمیم یافته ناشی از استهلاک به سمت راست رابطه ( 2-9) معادله حرکت روتور دارای میرایی بدست می‌آید . مختصات نقطه C یعنی X وy به عنوان مختصات تعمیم یافته انتخاب گردیدند و لذا نیروی میرایی که از شفت بر روتور وارد می شود دارای مؤلفه‌هایی در این دو راستا است . با فرض استهلاک ویسکوزی نیروی ناشی از میرایی غیر دوار به صورت زیر در سیستم مختلط بیان می‌شود :
(2-12)
برای مطالعه استهلاک چرخشی و یک چهارچوب مرجع دوار Oxy معرفی می‌گردد.مبدأ و محور Z این چهارچوب بر مبدأ و محور Z چهارچوب اینرسی منطبق است و اما محورهای x و y در صفحه XY با سرعت روتور می‌چرخند . مختصات مختلط w در صفحه xy به صورت زیر تعریف می‌شود :
( 2-13)
مشتق مختصات w به صورت بدست می آید و نیروی استهلاک دوار درچهارچوب Oxyz به صورت زیر خواهد بود :
( 2-14)
با نوشتن بردار در چهارچوب OXYZ نیروی میرایی دیوار درچهارچوب اینرسی بدست می‌آید .
(2-15)
با اضافه کردن ترم‌های نیروی میرایی به سمت راست معادله ( 4-9) معادله حرکت روتور جفکات دارای میرایی به صورت زیر بدست می ‌آید :
(2-16)
2- 7- پاسخ‌ نابالانسی روتور دارای میرایی در سرعت ثابت
با فرض ثابت بودن سرعت دوران روتور معادله حرکت به صورت زیر ساده می گرد:
(2-17)
پاسخ دائمی معادله (2-17) به نابالانسی به صورت می‌باشد و W0 با جایگزینی در معادله حرکت بدست می ‌آید :
(2-18)
همانطور که مشاهده می‌شود استهلاک دوار در پاسخ نابالانسی روتور ظاهر نشده است . علت این است که در پاسخ دائمی از دیدگاه چهارچوب دوار و روتور هیچگونه حرکت وتغییر شکلی ندارد مؤلفه‌های حقیقی و موهومی پاسخ به صورت زیر بدست می ‌آید :
با تعریف پارامترهای بی‌بعد بصورت زیر :
دامنه وفاز پاسخ بر حسب پارامترهای بی‌بعد بدست می آید :
روتور جفکات یک مدل بیش از حد ساده شده روتورهای واقعی است ، اما با وجود این به ما اجازه می‌دهد که یک فهم و مدل ساده ، حداقل بصورت کیفی ، از بعضی از مهمترین دینامیک روتورها مثل وجود سرعتهای بحرانی و خود مرکز کنندگی داشته باشیم . براساس توضیحی که گفته شد ، به روشنی مشخص است که مساوی شدن سرعت بحرانی ( خواه از پاسخ نابالانسی و خواه از رفتار آزاد سیستم محاسبه شده باشد ) با فرکانس طبیعی سیستم بدون استهلاک ، یک مشخصه ویژه مدل جفکات یا بطور عمومی‌تر همه روتورهایی است که فرکانس طبیعی آنها وابسته به سرعت نیست ونباید بعنوان یک مشخصه عمومی فرض شود .
2-8- مدل با چهار درجه آزادی و اثرات ژیروسکوپی
در مدل جفکات روتور به صورت یک جرم نقطه‌ای فرض شد و از ممانهای اینرسی روتور صرفنظر شد . ممانهای اینرسی روتور می‌توانند تاثیرات قابل توجهی در رفتار دینامیکی سیستم داشته باشند . عات این مسئله ممانهای ژیروسکوپی هستند که باعث وابستگی فرکانسهای طبیعی مودهای خمشی به سرعت چرخش می‌شوند و دیاگرام کمبل دیگر از تعدادی خط مستقیم افقی تشکیل نمی‌گردد. برای ارزیابی این اثر ، ساده‌ترین مدل همان شکل (2-2) است که به جای جرم نقطه‌ای ، یک جسم صلب در نقطه p در نظر گرفته می‌شود . یکی از محورهای اصلی در حالت تغییر شکل نیافته منطبق بر محور Z است . ممان اینرسی قطبی JP حول محور چرخش و ممان اینرسی متقاطع Jt حول هر محوری در صفحه دوران ، ممانهای اینرسی اصلی جسم صلب هستند .
همچنین فرض کنید ، به سبب خطاهای کوچک ، موقعیت نقطه P که بر روی مرکز جرم جسم صلب قرار دارد ، منطبق بر نقطه C ، مرکز شافت ، نباشد . فاصله بین این دونقطه خارج مرکزی است . بنابراین ، محور تقارن جسم صلب کاملاً منطبق بر م حور چرخش نیست . زاویه بین آنها خطای زاویه‌ ای است . این دو خطا ، که کوچک فرض می‌شوند ، به ترتیب باعث نابالانسی استاتیکی و کوپل می‌شوند .
این سیستم دارای شش درجه آزادی است و برای مطالعه رفتار دینامیکی سیستم باید شش مختصات تعمیم یافته تعریف شود . فرض دیکوپله بودن رفتارهای محوری، عرضی و پیچشی که در تیرها صادق است برای مطالعه قسمت الاستیک سیستم در نظر گرفته می شود . می‌توان نشان داد که جدایش مشابهی بین قسمتهای اینرسی مدل رخ می‌دهد و برای مطالعه رفتار عرضی سیستم در سرعت ثابت یک مدل چهار درجه آزادی کافی است .
برای بدست ‌آوردن معادلات ح رکت روتور ابتدا به معرفی چهارچوبهای موردنیاز پرداخته می‌شود . چهارچوب OXYZ طبق معمول چهارچوب اینرسی و مبداءO منطبق بر مرکز هندسی روتور در حالت سکون است . دستگاه CX'Y'Z' چهارچوبی است که محورهای ‌آن موازی محورهای دستگاه OXYZ است لیکن مبداء آن منطبق بر مرکز هندسی روتور در حالت تغییر شکل یافته است . چهارچوب Cxyz چهارچوب متصل به روتور است که مبداء آن همان نقطه C می‌باشد چهارچوب CX'Y'Z' با دورانهای زیر به دستگاه Cxyz تبدیل می‌شود .
- دوران حول محور X' به اندازه به طوریکه محور Y' وارد صفحه دوران روتور در حالت تغییر شکل یافته بشود. دستگاه بدست ‌آمده را CX"Y"Z" می‌نامیم و ماتریس دوران مربوطه R1 است .
- دوران حول محور Y" به اندازه به طوریکه محور X" وارد صفحه دوران بشود . دستگاه بدست آمده و ماتریس دوران R2 است .
- با دوران چهارچوب بدست آمده حول محور به اندازه دستگاه Cxyz بدست می‌آید . برابر زاویه چرخش روتور است و اگر سرعت زاویه‌ ای روتورثابت و برابر باشد زاویه برابر است . ماتریس دوران این مرحله R3 است .
زوایای و همان زوایای اویلر می‌باشند . با توجه به اینکه روتور دارای اندکی نابالانسی است لذا مرکز جرم روتور بر نقطهC منطبق نبوده و روتور دارای خارج از مرکزی می‌باشد . مرکز جرم روتور را با P نشان داده و زاویه بین خط CP و محور x برابر فرض می‌شود . همچنین محور تقارن روتور کاملاً بر محور دوران یعنی z منطبق نبوده و با یکدیگر زاویه‌ای برابر خواهند داشت .
اگر نابالانسی روتور به گونه‌ای فرض شود که یکی از محورهای اینرسی اصلی روتور ( محوری که در صفحه روتور قرار می‌گیرد) موازی محور y باشد ، می‌توان با دوران دستگاه Cxyz حول محور y به اندازه به چهارچوب متصل به جسم و منطبق بر محورهای اصلی روتور رسید . ماتریس دوران متناظر با R4 نشان داده می‌شود . ماتریسهای دوران R1 تا R4 به صورت زیر بدست می‌آید :
مختصات تعمیم یافته X ،‌ Y و Z ، مختصات نقطه C بوده وزاویه‌های و زوایای اویلر روتور می‌باشد . فرض کوچک بودن جابجایی‌ها برای صادق نمی‌باشد لیکن برای دیگر مختصات برقرار است. برای محاسبه انرژی جنبشی سیستم ابتدا مختصات و سرعت نقطه P یعنی مرکز ثقل روتور در دستگاه اینرسی محاسبه می‌شود . ماتریس دوران را با جایگزینی به جای در R3 بدست آورده و مختصات نقطه P به صورت زیر بدست می‌آید :
( 2-29)
با انجام عملیات ریاضی و صرفنظر کردن از ترمهای کوچکتر داریم :
(2-30)
وسرعت نقطه P به صورت زیر محاسبه می‌گردد:
(2-31)
ترم دوم در مولفه سوم سرعت بیانگر سرعت محوری P در اثر دورانهای حول محورهای عمود بر شافت و خارج از مرکزی است و باعث کوپله شدن حرکت‌های محوری و عرضی می‌شود . با فرض کوچک بودن خارج از مرکزی روتور می‌توان از این ترم صرفنظر نموده و انرژی جنبشی مربوطبه سرعت خطی به صورت زیر بدست می‌‌آید :
برای محاسبه انرژی جنبشی دورانی ، سرعت زاویه‌ ای مطلق روتور در چهارچوب منطبق بر محورهای اصلی روتور بصورت زیر بدست می ‌آید :
با انجام عملیات ریاضی و در نظر گرفتن فرض جابجایی‌های کوچک می‌توان نتیجه گرفت :
انرژی جنبشی دورانی با صرفنظر کردن از ترمهای کوچکتر به صورت زیر بدست می‌آید :
(2-35)
برای استخراج معادلات حرکت ازمعادله لاگرانژ استفاده می‌شود لیکن در اینجا کلیه نیروهای وارد بر


دسته‌بندی نشده  وزنه هارمونیک نابالانسی میرایی موقعیت مودال مغناطیسی مشتری مختلط مختصات محوری محورهای ماشینهای گلوله کنترلی کمبل کشور فرکانسهای فرکانس عرضی ضرایب صلب شافت سیستمها سرعتهای ژیروسکوپی رینگ ریاضی روتورهای روتورها روتور رقابت دینامیکی دینامیک دیاگرام دورانی درآمد دائمی چهارچوب چرخش جنبشی جفکات جسم جابجایی جابجا تکیه تکنیک تقارن تعمیم ترکیبی تحریک بیرینگها بانکی بانکداری بانک بالانسر بالانس اینرسی اینترنت انفعالی انرژی الگوریتم الکترونیکی الاستیک استهلاک ارتعاشی ارتعاشات اتوماتیک آزادی XY

سایت ما حاوی حجم عظیمی از مقالات دانشگاهی است . فقط بخشی از آن در این صفحه درج شده شما می توانید از گزینه جستجو متن های دیگری از این موضوع را ببینید 

کلمه کلیدی را وارد کنید :

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *